已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:f(a·

题目内容：

已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a_n=(n∈N^*),b_n=(n∈N^*).

考察下列结论:

①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;

③数列{a_n}为等比数列;

④数列{b_n}为等差数列.

其中正确的结论共有()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

最佳答案：

C

答案解析：

根据所给的四个条件,逐条验证即可.注意②中用特殊值验证,③④用定义判断.

∵f(0)=f(0×0)=0,

f(1)=f(1×1)=2f(1),

∴f(1)=0,①正确;

又f(1)=f((-1)×(-1))=-2f(-1),

∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),

故f(x)不是偶函数,故②错;

∵f(2ⁿ)=f(2·2^n-1)=2f(2^n-1)+2^n-1f(2)=2f(2^n-1)+2ⁿ,

∴=+1,

即b_n=b_n-1+1,

∴{b_n}是等差数列,④正确;

b₁==1,

b_n=1+(n-1)·1=n,

f(2ⁿ)=2ⁿb_n=n·2ⁿ,

a_n==2ⁿ,

故数列{a_n}是等比数列,③正确.故选C.

考点核心：

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。