设函数f(x)满足2f(x)-f()=4x-+1,数列{an}和{bn}满足下列条件

题目内容：

设函数f(x)满足2f(x)-f()=4x-+1,数列{a_n}和{b_n}满足下列条件:a₁=1,a_n+1-2a_n=f(n),b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*).

(1)求f(x)的解析式.

(2)求{b_n}的通项公式b_n.

(3)试比较2a_n与b_n的大小,并证明你的结论.

最佳答案：

(1) f(x)=2x+1 (2) b_n=3·2ⁿ-2 (3)见解析

答案解析：

(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,

∴2f()-f(x)=-2x+1.

联立方程组

①×2+②,得3f(x)=6x+3

∴f(x)=2x+1.

(2)由题设a_n+1=2a_n+2n+1　③,

a_n+2=2a_n+1+2n+3④,

④-③得a_n+2-a_n+1=2(a_n+1-a_n)+2,

即b_n+1=2b_n+2,∴b_n+1+2=2(b_n+2),

∴{b_n+2}为等比数列.

q=2,b₁=a₂-a₁=4,b_n+2=6·2^n-1,

∴b_n=3·2ⁿ-2.

(3)由(2),知a_n+1-a_n=3×2ⁿ-2,而已知a_n+1-2a_n=2n+1,联立解得a_n=3×2ⁿ-2n-3,

∴2a_n=6×2ⁿ-4n-6,

∴2a_n-b_n=3×2ⁿ-4(n+1).

当n=1时,2a₁-b₁=-2<0,∴2a₁<b₁;

当n=2时,2a₂-b₂=0,∴2a₂=b₂;

当n=3时,2a₃-b₃=8>0,∴2a₃>b₃;

当n=4时,2a₄-b₄=28>0,∴2a₄>b₄.

猜想当n≥3时,2a_n>b_n即3×2ⁿ>4(n+1).

当n=3时,显然成立,

假设当n=k(k≥3)时,命题正确,

即3×2^k>4(k+1).

当n=k+1时,

即3×2^k+1=2×(3×2^k)>8(k+1)=8k+8

=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).

不等式也成立,故对一切n≥3且n∈N^*,

2a_n>b_n.

综上所述,当n=1时,2a_n<b_n;

当n=2时,2a_n=b_n;

当n≥3时,2a_n>b_n.

考点核心：

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。