设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的

发布时间: 2024-06-30 16:35:01

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是a和a_n的等差中项．

(1)证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；

(2)证明＜2.

（1）a_n＝n.（2）见解析

(1)由已知得，2S_n＝＋a_n，且a_n＞0，

当n＝1时，2a₁＝＋a₁，解得a₁＝1(a₁＝0舍去)；

当n≥2时，有2S_n_－1＝＋a_n_－1.

于是2S_n－2S_n_－1＝－＋a_n－a_n_－1，

即2a_n＝－＋a_n－a_n_－1.

于是－＝a_n＋a_n_－1，即(a_n＋a_n_－1)(a_n－a_n_－1)＝a_n＋a_n_－1.

因为a_n＋a_n_－1＞0，所以a_n－a_n_－1＝1(n≥2)．

故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝n.

(2)证明：因为a_n＝n，则S_n＝，，

所以＝2＝2＜2.

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

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