可以补办。需要收养人或者被收养人亲自到收养登记机关提出书面申请，如因故不能到场的，可以委托他人办理。申请人还应该持有身份证件、户口本以及查档证明。如果收养登记档案遗失的，申请人应当提交能够证明其收养状况的证明。若夫妻双方作为共同收养人，其在离婚后与被收养人之间的收养关系依旧存在，需要双方共同到场。
《收养登记工作规范》第三十五条
当事人遗失、损毁收养证件，可以向原收养登记机关申请补领。
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