函数值域的求法

函数求值域的方法包括配方法、常数分离法、逆求法、换元法、反函数法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、求导法。其中配方法是将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。常数分离法一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。

逆球法是对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。换元法是对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。

不等式法是利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法。判别式法是把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值，判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

求函数值域的常用方法

求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。

求值域的方法

化归法：

把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。

图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。

配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。

单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。

反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。

换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

函数的值域怎么求

其没有固定的方法和模式。但常用方法有:

(1)直接法:从变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围

(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如f(x)=af^(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法

(3)反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过反函数的定义域,得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b(a≠0)的函数均可使用反函数法。此外,这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。

(4)换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数常用此法求解。举些例子吧!

(1)y=4-根号3+2x-x^

此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.

∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2.

当x=-1或3时,ymax=4.

∴函数值域为[2,4]

(2)y=2x+根号1-2x

此题用换元法:

令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2

∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,

∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值.

∴函数值域为(-∞,5/4)

(3)y=1-x/2x+5

用分离常数法

∵y=-1/2+7/2/2x+5,

7、/2/2x+5≠0,

∴y≠-1/2

高中函数的值域的8种求法教一下

函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用

来表示

，再由

的取值范围，通过解不等式，得出

的取值范围；常用来解，型如：

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：

，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

常用方法有：

（1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围；

（2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法

（3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。

（4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！

（1）y=4-根号3+2x-x^

此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.

∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2.

当x=-1或3时,ymax=4.

∴函数值域为[2,4]

(2)y=2x+根号1-2x

此题用换元法:

令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2

∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,

∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值.

∴函数值域为(-∞,5/4)

(3)y=1-x/2x+5

用分离常数法

∵y=-1/2+7/2/2x+5,

7、/2/2x+5≠0,

∴y≠-1/2

函数求值域的17种方法

　一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。

　九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

　十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

　十一.利用多项式的除法

例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

十二.不等式法

例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。