一道关于数列部分和的问题

提问者要求一个到第m(m<n)个数字组成的这个数列的部分和都不能被3 整除，这个要求是颇严格的。我们试着求一下满足这种要求的数列有多少个，然后将这个数目除以n!，就得到满足条件的数列出现的几率。

因为n能被3整除，所以可以设n=3k，那么将所有的从1到n的自然数分成3组：

第一组是{1,4,7,...,3p+1,...3k-2}，这组中所有的整数被3除余1；

第二组是{2,5,8,...,3p+2,...3k-1}，这组中所有的整数被3除余2；

第三组是{3,6,9,...,3p,...3k}，这组中所有的整数被3除余0.

然后依次考察满足条件的数列A的前若干个数字。第一个数字一定不能来自第三组，那么有两种情况：

（1）来自第一组，有k种选择；

（2）来自第二组，也有k种选择。而且这两种情况对于后面的分析是类似的。我们不妨假定第一个数字就来自第一组，是3p+1。

那么第二个数字同样有两种选择，来自第一组或者来自第三组。依次分析下去，好像蛮复杂的....

有两点提议：

1、）此题可以转换成下题：

数列A包含k个1，k个2，k个0，并且A的任意前m(m<3k)个数字的和都不能被3整除，求满足这种条件的数列A有多少个。

如果求出这个数目r,那么提问者所提的几率就是 r*(k!)^3 / (3k)!

2、）可以先用计算机或者手算一些简单的例子。比如对于k=2的情况，就是提问者问题中n=6的情况，计算得到r=2*6=12，所以几率就是 12*(2!)^3/6! ＝ 2/15。

期望同志们积极参与，最终解决这道题目。

没有 “前无穷个项的和” 的说法。你看看级数的定义，级数

∑(n≥1)a(n)

只是一个形式的和，定义为 “一个无穷数列用和号连接起来”。所谓 “级数的和” 定义为 “部分和数列的极限”，而 “部分和” 指的是 “ 前 n 项和”。