施瓦茨不等式如何证明

您好，施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要不等式，它可以用多种方法证明。以下是其中一种证明方法：

假设有两个向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$，它们的内积为 $mathbf{a} cdot mathbf{b}$，则施瓦茨不等式可以表示为：

$$|mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}|$$

其中 $|mathbf{a}|$ 和 $|mathbf{b}|$ 分别表示向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的模长。

证明过程如下：

1. 首先，我们定义一个新的向量 $mathbf{c}$，它满足 $mathbf{c} = mathbf{a} - lambda mathbf{b}$，其中 $lambda$ 是一个常数。

2. 由于 $mathbf{c}$ 是向量，它的模长可以表示为 $|mathbf{c}| = sqrt{mathbf{c} cdot mathbf{c}}$。

3. 对 $mathbf{c}$ 进行平方展开，可以得到：

$$begin{aligned} |mathbf{c}|^2 &= (mathbf{a} - lambda mathbf{b}) cdot (mathbf{a} - lambda mathbf{b}) &= mathbf{a} cdot mathbf{a} - 2lambda mathbf{a} cdot mathbf{b} + lambda^2 mathbf{b} cdot mathbf{b} end{aligned}$$

4. 由于 $mathbf{a} cdot mathbf{a}$ 和 $mathbf{b} cdot mathbf{b}$ 都是非负数，所以可以将上式改写为：

$$|mathbf{c}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a} - 2lambda mathbf{a} cdot mathbf{b} + lambda^2 mathbf{b} cdot mathbf{b} geq 0$$

5. 化简上式，得到：

$$lambda^2 mathbf{b} cdot mathbf{b} -2lambda mathbf{a} cdot mathbf{b} +mathbf{a} cdot mathbf{a} geq 0$$

6. 上式是一个关于 $lambda$ 的二次方程，当判别式小于等于零时，其有实根，即：

$$(mathbf{a} cdot mathbf{b})^2 - mathbf{a} cdot mathbf{a} cdot mathbf{b} cdot mathbf{b} leq 0$$

7. 化简上式，可以得到施瓦茨不等式：

$$|mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}|$$

证毕。